实变函数笔记20250321
特征函数定义
A⊆R其上的特征函数χA(x)定义为χA(x)={1,0,x∈Ax∈A
χA(x)可测⇔A 可测
简单函数定义
f:E→R 可测,如果f仅取有限个值,则称其为简单函数
f=∑k=1nckχEk, Ek={x∈E;f(x)=ck}且可测
简单函数逼近引理
f:E→R 有界可测,则∀ϵ>0,∃简单函数ϕϵ,ψϵ:E→R, s.t. ϕϵ≤f≤ψϵ, 0<ψϵ−ϕϵ<ϵ
简单函数逼近定理
f:E→Rˉ可测⇔∃{ϕn}n=1∞简单函数列点点收敛于f,且∣ϕn∣<∣f∣
若f≥0则可取ϕn为升列
Littlewood 三原理
- 可测集“差不多”是有限个区间的并(参见笔记三对称差定义下方定理)
- 可测函数“差不多”是连续函数(参见下文 Lusin 定理)
- 点点收敛(几乎处处收敛)“差不多”是一致收敛(参见下文 Egorov 定理)
引理
设E⊂R为可测集,m(E)<∞
设E上的函数族{fn}n=1∞可测,f:E→R,fn点点收敛于f
则η,δ>0,∃可测集A⊆E和n∈N+ s.t. m(E∖A)<δ且∀n≥N和x∈A, ∣fn(x)−f(x)∣<η
Egorov 定理
设 E 可测,m(E)<∞
设{fn}n=1∞可测,f:E→R可测,fn点点收敛于f
则∀ϵ>0,∃闭集F⊆E, s.t. m(E∖F)<ϵ,且fn在F上一致收敛于f
- 点点收敛 ⇝ a.e. 收敛
- ∀ϵ>0,∃Fϵ s.t. m(E∖Fe)<ϵ↭∃f⊂E, s.t. m(E∖F)=0
- m(E)<∞不可去掉
- m(E)=∞时,∀M>0, ∃闭集FM⊆E, s.t. m(FM)>M且fn∣FM一致收敛于f∣FM
Lusin 定理
f:E→R可测,则∀ϵ>0,∃闭集F⊆E和连续函数g:R→R s.t. m(E∖F)<ϵ且g∣F≡f∣F