实变函数笔记20250321

特征函数定义

ARA\subseteq \R其上的特征函数χA(x)\chi_A(x)定义为χA(x)={1,xA0,x∉A\chi_A(x)= \begin{cases} 1,&x\in A\\ 0,&x\not\in A \end{cases}

χA(x)\chi_A(x)可测A\Leftrightarrow A 可测

简单函数定义

f:ERf:E\rightarrow \R 可测,如果ff仅取有限个值,则称其为简单函数

f=k=1nckχEk, Ek={xE;f(x)=ck}f=\sum_{k=1}^nc_k\chi_{E_k},\ E_k=\{x\in E;f(x)=c_k\}且可测

简单函数逼近引理

f:ERf:E\rightarrow\R 有界可测,则ϵ>0,\forall \epsilon>0,\exist简单函数ϕϵ,ψϵ:ER, s.t. ϕϵfψϵ, 0<ψϵϕϵ<ϵ\phi_\epsilon,\psi_\epsilon:E\rightarrow\R,\ s.t.\ \phi_\epsilon\leq f\leq\psi_\epsilon,\ 0<\psi_\epsilon-\phi_\epsilon<\epsilon

简单函数逼近定理

f:ERˉf:E\rightarrow \bar\R可测{ϕn}n=1\Leftrightarrow \exist\{\phi_n\}_{n=1}^{\infty}简单函数列点点收敛于ff,且ϕn<f|\phi_n|<|f|

f0f\geq 0则可取ϕn\phi_n为升列

Littlewood 三原理

  1. 可测集“差不多”是有限个区间的并(参见笔记三对称差定义下方定理)
  2. 可测函数“差不多”是连续函数(参见下文 Lusin 定理)
  3. 点点收敛(几乎处处收敛)“差不多”是一致收敛(参见下文 Egorov 定理)

引理

ERE\subset \R为可测集,m(E)<m(E)<\infty
EE上的函数族{fn}n=1\{f_n\}_{n=1}^\infty可测,f:ERf:E\rightarrow\Rfnf_n点点收敛于ff
η,δ>0,\eta,\delta>0,\exist可测集AEA\subseteq EnN+ s.t. m(EA)<δn\in \N^+\ s.t.\ m(E\setminus A)<\deltanN\forall n\geq NxA, fn(x)f(x)<ηx\in A,\ |f_n(x)-f(x)|<\eta

Egorov 定理

EE 可测,m(E)<m(E)<\infty
{fn}n=1\{f_n\}_{n=1}^\infty可测,f:ERf:E\rightarrow\R可测,fnf_n点点收敛于ff
ϵ>0,\forall \epsilon>0,\exist闭集FE, s.t. m(EF)<ϵF\subseteq E,\ s.t.\ m(E\setminus F)<\epsilon,且fnf_nFF上一致收敛于ff

  1. 点点收敛  a.e.\rightsquigarrow\ a.e. 收敛
  2. ϵ>0,Fϵ s.t. m(EFe)<ϵ↭̸fE, s.t. m(EF)=0\forall \epsilon>0, \exist F_\epsilon\ s.t.\ m(E\setminus F_e)<\epsilon\not\leftrightsquigarrow \exist f\subset E,\ s.t.\ m(E\setminus F)=0
  3. m(E)<m(E)<\infty不可去掉
  4. m(E)=m(E)=\infty时,M>0, \forall M>0,\ \exist闭集FME, s.t. m(FM)>MF_M\subseteq E,\ s.t.\ m(F_M)>MfnFMf_n|_{F_M}一致收敛于fFMf|_{F_M}

Lusin 定理

f:ERf:E\rightarrow \R可测,则ϵ>0,\forall \epsilon>0,\exist闭集FEF\subseteq E和连续函数g:RR s.t. m(EF)<ϵg:\R\rightarrow \R\ s.t.\ m(E\setminus F)<\epsilongFfFg|_F\equiv f|_F