实变函数笔记20250321

特征函数定义

A⊆RA\subseteq \R其上的特征函数χA(x)\chi_A(x)定义为χA(x)={1,x∈A0,x∉A\chi_A(x)= \begin{cases} 1,&x\in A\\ 0,&x\not\in A \end{cases}

χA(x)\chi_A(x)可测⇔A\Leftrightarrow A 可测

简单函数定义

f:E→Rf:E\rightarrow \R 可测，如果ff仅取有限个值，则称其为简单函数

f=∑k=1nckχEk, Ek={x∈E;f(x)=ck}f=\sum_{k=1}^nc_k\chi_{E_k},\ E_k=\{x\in E;f(x)=c_k\}且可测

简单函数逼近引理

f:E→Rf:E\rightarrow\R 有界可测，则∀ϵ>0,∃\forall \epsilon>0,\exist简单函数ϕϵ,ψϵ:E→R, s.t. ϕϵ≤f≤ψϵ, 0<ψϵ−ϕϵ<ϵ\phi_\epsilon,\psi_\epsilon:E\rightarrow\R,\ s.t.\ \phi_\epsilon\leq f\leq\psi_\epsilon,\ 0<\psi_\epsilon-\phi_\epsilon<\epsilon

简单函数逼近定理

f:E→Rˉf:E\rightarrow \bar\R可测⇔∃{ϕn}n=1∞\Leftrightarrow \exist\{\phi_n\}_{n=1}^{\infty}简单函数列点点收敛于ff，且∣ϕn∣<∣f∣|\phi_n|<|f|

若f≥0f\geq 0则可取ϕn\phi_n为升列

Littlewood 三原理

  1. 可测集“差不多”是有限个区间的并（参见笔记三对称差定义下方定理）
  2. 可测函数“差不多”是连续函数（参见下文 Lusin 定理）
  3. 点点收敛（几乎处处收敛）“差不多”是一致收敛（参见下文 Egorov 定理）

引理

设E⊂RE\subset \R为可测集，m(E)<∞m(E)<\infty
设EE上的函数族{fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^\infty可测，f:E→Rf:E\rightarrow\R，fnf_n点点收敛于ff
则η,δ>0,∃\eta,\delta>0,\exist可测集A⊆EA\subseteq E和n∈N+ s.t. m(E∖A)<δn\in \N^+\ s.t.\ m(E\setminus A)<\delta且∀n≥N\forall n\geq N和x∈A, ∣fn(x)−f(x)∣<ηx\in A,\ |f_n(x)-f(x)|<\eta

Egorov 定理

设 EE 可测，m(E)<∞m(E)<\infty
设{fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^\infty可测，f:E→Rf:E\rightarrow\R可测，fnf_n点点收敛于ff
则∀ϵ>0,∃\forall \epsilon>0,\exist闭集F⊆E, s.t. m(E∖F)<ϵF\subseteq E,\ s.t.\ m(E\setminus F)<\epsilon，且fnf_n在FF上一致收敛于ff

  1. 点点收敛 ⇝ a.e.\rightsquigarrow\ a.e. 收敛
  2. ∀ϵ>0,∃Fϵ s.t. m(E∖Fe)<ϵ↭̸∃f⊂E, s.t. m(E∖F)=0\forall \epsilon>0, \exist F_\epsilon\ s.t.\ m(E\setminus F_e)<\epsilon\not\leftrightsquigarrow \exist f\subset E,\ s.t.\ m(E\setminus F)=0
  3. m(E)<∞m(E)<\infty不可去掉
  4. m(E)=∞m(E)=\infty时，∀M>0, ∃\forall M>0,\ \exist闭集FM⊆E, s.t. m(FM)>MF_M\subseteq E,\ s.t.\ m(F_M)>M且fn∣FMf_n|_{F_M}一致收敛于f∣FMf|_{F_M}

Lusin 定理

f:E→Rf:E\rightarrow \R可测，则∀ϵ>0,∃\forall \epsilon>0,\exist闭集F⊆EF\subseteq E和连续函数g:R→R s.t. m(E∖F)<ϵg:\R\rightarrow \R\ s.t.\ m(E\setminus F)<\epsilon且g∣F≡f∣Fg|_F\equiv f|_F